Question

10．若動點（x，y）在曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（0＜b＜4）上變化，則x²+2y的最大值為$\frac{^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 用三角換元x=2cosθ，y=bsinθ，將其代入x²+2y得x²+2y=-4（sinθ-$\frac{4}$）²+$\frac{^{2}}{4}$，再根據(jù)b的取值范圍，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可得到x²+2y的最大值．

解答 解：由題意，可令x=2cosθ，y=bsinθ，
則x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4=-4（sinθ-$\frac{4}$）²+$\frac{^{2}}{4}$，
當0＜b＜4，可得$\frac{4}$∈（0，1]，當sinθ=$\frac{4}$時，
x²+2y取得最大值$\frac{^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{^{2}}{4}$．

點評 本題給出橢圓上的動點（x，y），求最大值的問題，著重考查了三角換元法解決二次曲線問題和二次函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．