Question

9名數(shù)學家，每人至多會3種語言，每3人至少有兩人能通話，
（1）證明：至少有3人會同一種語言；
（2）如果把9名改為8名數(shù)學家，（1）中結論還成立嗎？

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）假設沒有任意三個人會同一種語言，結合已知中每3人至少有兩人能通話，分析出矛盾，進而得到假設不成立，得到原結論：至少有3人會同一種語言，成立．
（2）如果把9名改為8名數(shù)學家，（1）中結論不成立．

解答： 證明：（1）給9名數(shù)學家分別編為1～9號，
假設沒有任意三個人會同一種語言．
令1號，2號，3號之間有2個語言相通的人（不妨令為1，2號）設為語言A，
剩余的1個人（3號）與4號，5號之間有2個語言相通的人（不妨令為3，4號）設為語言B，
剩余的1個人（5號）與6號，7號之間有2個語言相通的人（不妨令為5，6號）設為語言C，
剩余的1個人（7號）與8號，9號之間有2個語言相通的人（不妨令為7，8號）設為語言D，
于是得到四對語言相通的人（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），
和另外一個人（9號）對四對語言不通的人．
任取通語言A、B之中的人各一個和對四對語言不通的人組成一組（不妨令為1，3號），
則1，3之間可以通話，且通話的語言不能為A，B，C，D，不妨令為語言E，
任取通語言A、C之中的人各一個和對四對語言不通的人組成一組（不妨令為1，5號），
則1，5之間可以通話，且通話的語言不能為A，B，C，D，E，不妨令為語言F，
任取通語言A、D之中的人各一個和對四對語言不通的人組成一組（不妨令為1，7號），
則1，7之間可以通話，且通話的語言不能為A，B，C，D，E，F(xiàn)，不妨令為語言G，
則1號數(shù)學家必須會A，E，E，F(xiàn)四種語言，
與“每人至多會3種語言”矛盾，假設不成立．
故至少有3人會同一種語言．
（2）如果把9名改為8名數(shù)學家，則（1）中的另外一個人（9號）對四對語言不通的人不存在．
故此時（1）中結論不成立．

點評：本題考查的知識點是簡單的合情推理，其中利用反證法進行證明時推理過程比較復雜，難度較大．