Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）說明C₂是哪種曲線，并將C₂的方程化為普通方程；
（2）C₁與C₂有兩個公共點A，B，定點P的極坐標(biāo)$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）C₂是圓，利用極坐標(biāo)方程與普通方程轉(zhuǎn)化方法，將C₂的方程化為普通方程；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積．

解答 解：（1）C₂是圓，C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化為普通方程：x²+y²-2x-3=0，即：（x-1）²+y²=4．
（2）定點P的平面直角坐標(biāo)為（1，1），在直線C₁上，
將C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²-2x-3=0中，
化簡得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．設(shè)兩根分別為t₁，t₂，
由韋達定理知：t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=3，
所以AB的長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{2+12}$=$\sqrt{14}$，
定點P到A，B兩點的距離之積|PA||PB||=|t₁t₂|=3．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．