Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增;

在上單調(diào)遞減；時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）由，分別討論當(dāng)時(shí)，或討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)從而可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1）知，且為方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，其中，可化簡(jiǎn)，令，進(jìn)而求導(dǎo)求最值即可證得.

詳解：（1） .

令，，對(duì)稱軸為.

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)或時(shí)， .此時(shí)，方程兩根分別為，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，， 所以在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增;

在上單調(diào)遞減；時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，且為方程的兩個(gè)根.

由根與系數(shù)的關(guān)系，其中.

于是

.

令，

，

所以在在上單調(diào)遞減，且.

∴，即，

又，.