Question

13．求函數(shù)y=x⁴•（2-x²） （0＜x＜$\sqrt{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 令x²=t（0＜t＜2），則y=t²（2-t），求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到最大值．

解答 解：令x²=t（0＜t＜2），
則y=t²（2-t），
y′=2t（2-t）-t²=4t-3t²，
當0＜t＜$\frac{4}{3}$時，y′＞0，函數(shù)遞增；
當$\frac{4}{3}$＜t＜2時，y′＜0，函數(shù)遞減．
則t=$\frac{4}{3}$即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，且為$\frac{16}{9}$×（2-$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查運用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．