Question

已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊于A′，B′，C′，則

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

=1，這是平面幾何中的一個(gè)命題，其證明方法常采用“面積法”：

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

=

S△OBC

S△ABC

+

S△OCA

S△ABC

+

S△OAB

S△ABC

=

S△ABC

S△ABC

=1．運(yùn)用類比猜想，對(duì)于空間四面體存在什么類似的命題？并用“體積法”證明．

Answer 1

分析：先根據(jù)所給的定理寫(xiě)出猜想的定理，把面積類比成體積，把面積之和等于1，寫(xiě)成體積之和等于1，再進(jìn)行證明．

解答：解：猜想：若O四面體ABCD內(nèi)任意點(diǎn)，AO，BO，CO，DO并延長(zhǎng)交對(duì)面于A′，B′，C′，D′，則

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

+

OD/

DD/

=1．
用“體積法”證明如下：

OA/

AA/

+

OB/

BB/

+

OC/

CC/

+

OD/

DD/

=

VO-BCD

VA-BCD

+

VO-CAD

VB-CDA

+

VO-ABD

VC-ABD

+

VO-ABC

VD-ABC

=

VABCD

VABCD

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目的解題的關(guān)鍵是要根據(jù)所給的定理類比出可能的定理，后面再進(jìn)行證明．