Question

（2013•營口二模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

cosxcos2x-cos3x+cos(

π

2

-x)-

1

2

cosx
（1）若x∈R，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若x∈(0，

π

4

)，且sin2x=

1

3

，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩角和與差公式以及二倍角公式化簡函數(shù)為

2

sin（x-

π

4

），然后根據(jù)正弦函數(shù)的特點求出最值即可；
（2）根據(jù)x的范圍可得f（x）＜0，再對函數(shù)f（x）的解析式進行平方結合題中條件可得[f（x）]²=

2

3

，然后得到答案．

解答：解：f(x)=

1

2

cosxcos2x-cos3x+cos(

π

2

-x)-

1

2

cosx=cosx(cos2x-

1

2

-cos2x)+sinx-

1

2

cosx=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．…（2分）
（1）當x∈R時，-

2

≤f（x）≤

2

；
∴f（x）的最大值為

2

，最小值為-

2

；…（5分）
（2）x∈(0，

π

4

)時，x-

π

4

∈(-

π

4

，0)，sin(x-

π

4

)＜02x∈(0，

π

2

)，sin2x∈（0，1）；           …（7分）
f²（x）=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-sin2x；sin2x=

1

3

，則f2(x)=1-

1

3

=

2

3

；…（9分）
∵f(x)=

2

sin(x-

π

4

)＜0
∴f(x)=-

2 3

=-

6

3

．…（12分）

點評：此類問題的關鍵是熟練掌握誘導公式與兩角差的正弦公式，以及進行正確的運算也是關鍵．