Question

知在平面直角坐標系中，O(0，0)，M(1，

1

2

)，N(0，1)，Q(1，

2

)．若動點P（x，y）滿足不等式，0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1則|

OP

•

OQ

|的最大值為

1

2

+

2

．

Answer 1

分析：利用向量的坐標求法求出各個向量的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出各個數(shù)量積代入已知不等式得到P的坐標滿足的不等式，將|

OP

•

OQ

|的值用不等式組中的式子表示，利用線性規(guī)劃求出它的范圍．

解答：解：由題意可得

OM

=（1，

1

2

），

OP

=（x，y），

ON

=（0，1），

OQ

=（1，

2

）．
∵0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，則  0≤x+

1

2

y≤1 且 0≤y≤1，即 0≤2x+y≤2且 0≤y≤1．
∴

OP

•

OQ

=x+

2

y，本題即求目標函數(shù)z=|x+

2

y|的最大值，故只要求得w=x+

2

y 的最值即可得到z 的最大值．
畫出可行域，如圖所示：
故當直線w=x+

2

y過原點O（0，0）時，w最小為0． 當直線w=x+

2

y過原點A（

1

2

，1）時，w最大為

1

2

+

2

．
故目標函數(shù)z=|x+

2

y|的最大值為

1

2

+

2

，
故答案為 

1

2

+

2

．

點評：本題考查向量的坐標形式的數(shù)量積公式、簡單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．