Question

19.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD的面積.

Answer 1

19.本小題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，考查運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　解：如圖，連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積

　S=S_△ABD＋S_△CBD＝AB×ADsinA+BC×CDsinC.

　∵A+C=180°，∴sinA=sinC.

∴S=(AB·AD+BC·CD)sinA

   =(2×4+6×4)sinA=16sinA.            

由余弦定理，在△ABD中，

BD²＝AB²＋AD²－2AB×ADcosA=2²+4²－2×2×4cosA=20－16cosA，

在△CDB中，

BD²＝CB²+CD²－2CB×CDcosC=6²+4²－2×6×4cosC

=52－48cosC，                            

　∴20－16cosA＝52－48cosC，

∵cosC＝－cosA，

∴64cosA=－32，

cosA=－，

∴A＝120°，

∴S＝16sin120°＝8.