Question

18．求函數(shù)y=2sinxcos（$\frac{3}{2}$π+x）+$\sqrt{3}$cosxsin（π+x）+sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx的周期和值域，并寫出使函數(shù)y取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)誘導公式，結合三角恒等變換公式化簡，得f（x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期T；由所求的表達式，得當sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1時，函數(shù)f（x）有最大值．根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質，解方程2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即可得到函數(shù)f（x）的最大值和相應的x的集合．

解答 解：∵cos（$\frac{3}{2}$π+x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，sin（$\frac{π}{2}$+x）=cosx，
∴f（x）=2sin²x-$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x，
=sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1，
=$\frac{3}{2}$-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
根據(jù)f（x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），得
當sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1時，函數(shù)f（x）有最大值為$\frac{5}{2}$，
令2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{5}{2}$，相應的x的集合為{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ（k∈Z）}．

點評 本題給出三角函數(shù)式的化簡，求函數(shù)的周期與最值．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、最值及其相應的x取值集合等知識，屬于中檔題．