Question

已知（a²+1）ⁿ（a≠0）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n值；
（2）若（a²+1）ⁿ展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a值．

Answer 1

（1）由于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r5

•(

16

5

)5-r•x^10-2r•x-

r

2

=(

16

5

)5-r•

C

r5

•x10-

5r

2

，
令10-

5r

2

=0，解得 r=4，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為

16

5

×5=16．
由題意可得 2ⁿ=16，故有n=4．
（2）由于（a²+1）ⁿ =（a²+1）⁴ 展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于

C

24

a⁴=54，∴a²=3，解得 a=±

3

．