Question

（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

求證：PC⊥BC；

求點A到平面PBC的距離。

Answer 1

[解析] 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。

（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因為PC平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：

易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。

（方法二）體積法：連結AC。設點A到平面PBC的距離為h。

因為AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰。

從而AB=2，BC=1，得的面積。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。

因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面積。

由，，得，

故點A到平面PBC的距離等于。