Question

已知函數(shù).

（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值范圍；

（3）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1） 詳見解析；（2） 的取值范圍；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1） 當(dāng)時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)，，將代入，得，注意到，只要證明當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，由于中含有指數(shù)函數(shù)，可對(duì)求導(dǎo)得，只需證明當(dāng)時(shí)，即可，注意到，只要證明當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增即可，因此令，對(duì)求導(dǎo)得，顯然當(dāng)時(shí)，，問題得證；（2） 求實(shí)數(shù)的取值范圍，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，故對(duì)求導(dǎo)得，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即)恒成立，只需求出的最小值即可，令，對(duì)求導(dǎo)得，令導(dǎo)數(shù)等于零，解出的值，從而的最小值，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：，由（1） 知：當(dāng)時(shí)，，即，可得，兩邊取對(duì)數(shù)得，令，得，再令，得個(gè)式子相加，然后利用放縮法可證得結(jié)論．

試題解析：（1） ，則h(x)＝，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，

∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上遞增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，

∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)＝1.( 4分)

（2） f′(x)＝ex－2kx，下面求使 (x＞0)恒成立的k的取值范圍．

若k≤0，顯然f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

記φ(x)＝ex－2kx，則φ′(x)＝ex－2k，

當(dāng)0＜k＜時(shí)，∵ex＞e0＝1， 2k＜1，∴φ′ (x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)k≥時(shí)，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上單調(diào)遞減，在(ln 2k，＋∞)上單調(diào)遞增，

于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，則≤k≤，

綜上，k的取值范圍為(－∞，]． 9分

另解：（2） ，下面求使(x＞0)恒成立的k的取值范圍．

)恒成立。記

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

綜上，k的取值范圍為(－∞，]．( 9分)

（3）由(1)知，對(duì)于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，

則ln(2x2＋1)＜2x，從而有ln(＋1)＜ (n∈N*)，

于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜＋＋ ＋＜＋＋ ＋＝2＋2(1－＋ ＋－)＝4－＜4，故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e4.( 14分)

另解：(3)由(1)知，對(duì)于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，

則ln(2x2＋1)＜2x，從而有ln(＋1)＜ (n∈N*)，

又

于是ln(＋1)＋ln (＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜

故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e4. ( 14分)

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與不等式問題．