Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，\frac{1}{2}cos2x）$，x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角差的正弦可得f（x）的解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，\frac{1}{2}cos2x）$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴0≤2x≤π，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
則$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$．
∴f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值分別為1和-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．