Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2 ）證明：對任意恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)，如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)（其中）使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A,B直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）  
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）；
∴f′（x）在（0，1]上單減，在[1，e）上單增； 
x∈[e，+∞）時(shí)，對x∈[e，+∞）恒成立
∴f（x）在[e，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）_min=f（1）=3    
（2）
令
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 32px; HEIGHT: 12px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20121006/20121006184815943641.png">,顯然，
所以在上遞增,顯然有恒成立.（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立），即證．
（3）當(dāng)時(shí)，，，
假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值伴侶切線”.  
設(shè),是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且，
則，.  
故直線AB的斜率：
曲線在點(diǎn)處的切線斜率：
依題意得：
化簡可得： ，
即=.
設(shè) ()，上式化為,
由（2）知時(shí)，恒成立.
所以在內(nèi)不存在t,使得成立.
綜上所述，假設(shè)不成立.
所以，函數(shù)f（x）不存在“中值伴侶切線”