Question

【題目】已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù) ，若在[1，e]上至少存在一點x0 ， 使得f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù) ，

∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0. ，

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+1﹣1=1．

從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=x﹣1，

即y=x﹣1．

（Ⅱ） ．

要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．

即：ax2﹣x+a≥0得： 恒成立．

由于 ，

∴ ，

∴

∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍是 ．

（III）∵ 在[1，e]上是減函數(shù)

∴x=e時，g（x）min=1，x=1時，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）= 令h（x）=ax2﹣x+a

當 時，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜1

又 在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）= ，g（x）min=1，即）= ≥1

解得a≥

∴實數(shù)a的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）當a=1時，求出切點坐標，然后求出f'（x），從而求出f（1）的值即為切線的斜率，利用點斜式可求出切線方程；（Ⅱ）先求導函數(shù)，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，然后將a分離，利用基本不等式可求出a的取值范圍；（III）根據(jù)g（x）在[1，e]上的單調(diào)性求出其值域，然后根據(jù)（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．