Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為P萬元、Q萬元，它們與投入資金t萬元的關系有經驗公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

，今將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投入x萬元，①當x=2時，總利潤y等于多少？②試建立總利潤y萬元關于x的函數表達式．③如何分配投資比例，才能使總利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）x=2時，P函數中的t值為2，Q函數的t值應為3-2=1，分別求得P和Q的值，從而得出當x=2時，總利潤y等于多少；
（2）當自變量取x時，P函數中的t值為，Q函數的t值應為3-x，分別求得P和Q的值，從而得出當自變量取x時，總利潤y萬元關于x的函數表達式；
（3）對于（2）中的函數解析式，利用換元法轉化成一個二次函數的形式，最后結合二次函數的最值求法得出函數的最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）x=2時，P=

1

5

×2=

2

5

，Q=

3

5

×

3-2

=

3

5

，
∴y=P+Q=1（萬元）
(2)y=

1

5

x+

3

5

3-x

(0≤x≤3)
(3)令

3-x

=t，(0≤t≤

3

)
y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

當t=

3

2

即x=

3

4

時ymax=

21

20

答：甲投入

3

4

萬元乙投入

9

4

萬元時收益最大，最大值為

21

20

萬元

點評：解決實際問題通常有四個步驟：
（1）閱讀理解，認真審題；
（2）引進數學符號，建立數學模型；
（3）利用數學的方法，得到數學結果；
（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．利用換元法構造二次函數模型求解最值是關鍵．