Question

在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點．

(Ⅰ)求證：EF⊥CD；

(Ⅱ)求二面角F－DE－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(見圖) 　　(Ⅰ)∵AE＝EB，PF＝FB，∴EF∥AP，又∵ABCD為正方形，∴，又∵PD⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴EF⊥CD．(4分) 　　(Ⅱ)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)FO，作OH⊥DE于H，連結(jié)FH．因F與O都是中點，∴OF是⊿BDP的中位線，∴OF∥PD，∵PD⊥底面ABCD，∴FO⊥底面ABCD，∴由三垂線定理得FH⊥DE，∴∠FHO是F－DE－B的平面角． 　　設(shè)，則，在△DOE中，， 　　∵△DOE面積為正方形面積的，即為， 　　∴， 　　∴．(12分) 　　方法二：(見圖) 　　(Ⅰ)如上圖，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、x軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，， 　　． 　　∴，∴．(4分) 　　(Ⅱ)設(shè)平面DEF的法向量為n1＝(x，y，z)，則， 　　∴， 　　令x＝1得y＝－2，z＝1，∴． 　　而平面ABCD的一個法向量為， 　　∴．(12分)