Question

如圖，已知點P是三角形ABC所在平面外一點，且PA=BC=1，截面EFGH分別平行于PA，BC（點E，F(xiàn)，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形且周長為定值；
（2）設PA與BC所成角為θ，求四邊形EFGH的面積的最大值．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定與性質，證出EF∥GH且EH∥FG，從而得到四邊形EGFH的兩組對邊分別平行，即四邊形EFGH為平行四邊形，再由平行得對應邊比例，利用整體求值求出EF+EH=1，進而求出四邊形EFGH的周長為定值；
（2）由異面直線所成角的定義求出∠HEF，利用正弦定理的面積公式得到截面EFGH的面積S，再利用平行線分線段成比例定理和基本不等式，得到當且僅當E為AB的中點時取到最大值．由此即可算出截面EFGH的面積最大值．

解答： （1）證明：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH
∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，
同理得到EF∥HG，
∴四邊形EGFH中，兩組對邊分別平行，
因此，四邊形EFGH為平行四邊形．
∵空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．
且PA=BC=1，
∴

EH

AP

=

EB

AB

①，

EF

BC

=

AE

AB

②，
則①+②得，

EH

AP

+

EF

BC

=

EB+AE

AB

=1
∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，
∴四邊形EFGH的周長=2，故四邊形EFGH的周長為定值．
2）∵PA與BC所成角為θ，
∴平行四邊形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，
可得截面EFGH的面積S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，
設

EH

AP

=

EB

AB

=λ，則

EF

BC

=

AE

AB

=1-λ，
∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，
則S=λ（1-λ）sinθ≤(

λ+1-λ

2

)2sinθ=

1

4

sinθ，
當且僅當λ=

1

2

等號成立，
由此可得：當E為AB的中點時，截面EFGH的面積最大，最大值為

1

4

sinθ．

點評：本題主要考查了線面平行的判定與性質、平行線分線段成比例定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．