Question

【題目】設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為(　　)

A. B. C. D. 0

Answer 1

【答案】B

【解析】

先設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個(gè)數(shù)，若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較的大小，即得Smin=S3=4a·b.最后利用向量的數(shù)量積公式求a與b的夾角.

設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.

又|b|=2|a|,

所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3<S2<S1,故Smin=S3=4a·b.設(shè)a,b的夾角為θ,則Smin=4a·b=8|a|2cos θ=4|a|2,即cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.

故答案為：B