Question

【題目】已知正三棱柱中，所有棱長都是3，點D，E分別是線段和上的點，.

（1）試確定點E的位置，使得平面，并證明；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）E為三等分點，且，證明見解析；（2）

【解析】

（1）取E為AC的三等分點，且AC=3AE，過E作EK∥CC1，且，得到四邊形BEKD為平行四邊形，有BE∥KD，由線面平行的判定可得BE∥平面ADC1；
（2）設AC中點為M，設A1C1的中點為P，分別以MA，MB，MP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．由直線與平面所成角的正弦值為，可得E點坐標為，然后分別求出平面ABE與平面BEC1的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-BE-C1的余弦值．

（1）取E為三等分點，且，過E作，

則，所以為平行四邊形，

所以，又，，

所以平面，證畢；

（2）設中點為M，設中點為P，

分別以，，為x，y，z建立空間直角坐標系，

則A（，0，0），C（，0，0），B（0，，0），（，0，3），

，，

設平面的一個法向量為，

由，取，

可得，

設E點坐標為，

，

由直線與平面所成角的正弦值為，

解得，

可得E點坐標為，

即，

易求平面法向量，

設平面法向量，

，，

由，取，

可得，

，

又因為二面角為鈍角，

所以所求余弦值為.