Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，且周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)，，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到線的距離公式表示出及點(diǎn)到直線的距離，則利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，且周長(zhǎng)為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因?yàn)橹本�與垂直，所以可設(shè)直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設(shè)，，則，，.

又點(diǎn)到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因?yàn)?/span>，，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.