Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂(x₁<x₂)，則(　　)

A．f(x₁)>0，f(x₂)>－                                 B．f(x₁)<0，f(x₂)<－

C．f(x₁)>0，f(x₂)<－                                 D．f(x₁)<0，f(x₂)>－

Answer 1

　D

[解析]　由題意知，函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，

即f ′(x)＝lnx＋1－2ax＝0在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)根．

令h(x)＝lnx＋1－2ax，則h′(x)＝－2a＝，當(dāng)a≤0時(shí)h′(x)>0，h(x)在區(qū)間(0，＋∞)上遞增，f ′(x)＝0不可能有兩個(gè)正根，

∴a>0.由h′(x)＝0，可得x＝，從而可知h(x)在區(qū)間(0，)上遞增，在區(qū)間(，＋∞)上遞減．因此需h()＝ln＋1－1＝ln>0，即>1時(shí)滿足條件，故當(dāng)0<a<時(shí)，h(x)＝0有兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁<<x₂.

又h(1)＝1－2a>0，∴x₁<1<<x₂，從而可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，x₁)上遞減，在區(qū)間(x₁，x₂)上遞增，在區(qū)間(x₂，＋∞)上遞減．

∴f(x₁)<f(1)＝－a<0，f(x₂)>f(1)＝－a>－.故選D.