Question

“a≤0”是“函數(shù)f（x）=x（

a

3

x²+

a-1

2

x-1）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增”的（　　）

• A、充分必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：f（x）=

a

3

x3+

(a-1)

2

x2-x，
∴f′（x）=ax²+（a-1）x-1，
當(dāng)a=0時(shí)，x＞0時(shí)，f′（x）=-x-1＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=a(x-

1

a

)(x+1)．
當(dāng)a＜0時(shí)，x＞0時(shí)，f′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞

1

a

，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上不單調(diào)遞增．
綜上可得：“a≤0”是“函數(shù)f（x）=x（

a

3

x²+

a-1

2

x-1）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定，考查了分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．