Question

由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號(hào)召市民乘公交出行，但公交車的數(shù)量太多會(huì)造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺(tái)的60名候車乘客中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，共抽取10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如表所示：

組別	候車時(shí)間（單位：min）	人數(shù)
一	[0，5）	1
二	[5，10）	5
三	[10，15）	3
四	[15，20）	1

（1）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)取3人，求至少有一人來(lái)自第二組的概率；
（2）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)這3個(gè)人共來(lái)自X個(gè)組，求X的分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)“至少有一人來(lái)自第二組”為事件A，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一人來(lái)自第二組的概率．
（2）由題意A的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)“至少有一人來(lái)自第二組”為事件A，
由P（A）=1-

C 3 5

C 3 10

=

11

12

．
（2）由題意A的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=

C 3 5 + C 3 3

C 3 10

=

11

120

，
P（X=2）=

( C 2 5 + C 2 3 )×2+ C 2 5 C 1 3 + C 2 3 C 1 5

C 3 10

=

71

120

，
P（X=3）=

C 1 3 C 1 5 ×2+ C 1 5 + C 1 3

C 3 10

=

38

120

，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	11 120	71 120	38 120

EX=

1

120

(11+2×71+3×38)=

89

40

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．