Question

已知函數(shù)，.

(Ⅰ) 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(Ⅱ) 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍；

(Ⅲ) 若方程有唯一解,試求實(shí)數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071011330619148019/SYS201307101134148198985673_DA.files/image004.png">,所以切線(xiàn)的斜率

       2分

又,故所求切線(xiàn)方程為,即             4分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071011330619148019/SYS201307101134148198985673_DA.files/image009.png">,又,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), .

即在上遞增,在上遞減    5分

又,所以在上遞增,在上遞減      6分

欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,解得    8分

(Ⅲ) 原方程等價(jià)于,令,則原方程即為.                 9分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)          10分

又,且，

所以當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞減.

故在處取得最小值．                                   12分

從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是．     13分

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性最值

點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線(xiàn)斜率，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程，由導(dǎo)數(shù)大于零可求得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零可得減區(qū)間，第三問(wèn)將方程有一個(gè)根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像只有唯一交點(diǎn)，結(jié)合圖像需求函數(shù)最值