Question

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a+b+c=10，cosC=

7

8

，則S_△ABC的最大值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由cosC的值，求出sinC的值，由a+b+c=10，得到a+b=10-c，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式變形后，把a+b=10-c代入整理表示出ab，利用基本不等式得到ab≤（

a+b

2

）²，把a+b=10-c代入，結合表示出的ab，求出c的范圍，利用三角形面積公式表示出S_△ABC，根據(jù)c的范圍求出S_△ABC的最大值即可．

解答： 解：∵cosC=

7

8

，C為三角形內(nèi)角，
∴sinC=

1-cos2C

=

15

8

，
∵a+b+c=10，即a+b=10-c，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

(10-c)2-2ab-c2

2ab

=

7

8

，
整理得：ab=

80-16c

3

，
由基本不等式得：ab≤（

a+b

2

）²=（

10-c

2

）²，即

80-16c

3

≤

(10-c)2

4

，
整理得：3c²+4c-20≥0，
解得：c≥2，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

15

16

ab≤

15

16

•（

10-c

2

）²，
顯然當c=2時，S_△ABC的最大值為

15

．
故答案為：

15

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．