Question

10．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求證：b^a＞a^b．（提示：可考慮用分析法找思路）

Answer 1

分析 直接利用分析法的證明步驟，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 證明：∵b^a＞0，a^b＞0，
∴要證：b^a＞a^b
只要證：alnb＞blna
只要證$\frac{lnb}＞\frac{lna}{a}$．（∵a＞b＞e）
取函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{lnx}{x}$，∵$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{1-lnx}{x^2}$
∴當x＞e時，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＜0$，∴函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是單調(diào)遞減．
∴當a＞b＞e時，有$f（\begin{array}{l}b\end{array}）＞f（\begin{array}{l}a\end{array}）$，
即$\frac{lnb}＞\frac{lna}{a}$．得證．

點評 本題考查不等式的證明，考查分析法的應用，考查分析問題解決問題的能力．