Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F是PB的中點．

(1)求證：DF⊥AP.

(2)在線段AD上是否存在點G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明G點的位置，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

[證明]　(1)取AB的中點E，則PA∥EF.設PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.

由于DE²＝EF²＋DF²，故DF⊥EF，

又EF∥PA，∴DF⊥PA.

(2)在線段AD上存在點G，使GF⊥平面PBC，且G點是AD的中點．

取AD的中點G，連接PG、BG，則PG＝BG.又F為AB的中點，故GF⊥PB.

∵F為PB中點，

∴F點在底面ABCD上的射影為正方形ABCD的中心O，

∴FO⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴FO⊥BC.

∵G為AD中點，O為正方形ABCD中心，∴GO⊥BC，

又GO∩FO＝0，∴BC⊥平面GOF，∴GF⊥BC.

∵BC、PB是平面PBC內的兩條相交直線，

∴GF⊥平面PBC.