Question

4．一個(gè)盒子里裝有大小均勻的6個(gè)小球，其中有紅色球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4，白色球2個(gè)，編號(hào)分別為4，5，從盒子中任取3個(gè)小球（假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同）．
（1）求取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率；
（2）在取出的3個(gè)小球中，小球編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．

Answer 1

分析 （1）從盒子中任取3個(gè)小球，先求出基本事件總數(shù)，再求出取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率．
（2）由題意得X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列．

解答 解：（1）∵一個(gè)盒子里裝有大小均勻的6個(gè)小球，其中有紅色球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4，
白色球2個(gè)，編號(hào)分別為4，5，從盒子中任取3個(gè)小球，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{3}$=20，
取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}$=16，
∴取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$．
（2）由題意得X的可能取值為3，4，5，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$+$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{10}{20}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{10}{20}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．