Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝1，a₂＝6，a₃＝11，且(5n－8)S_n+1－(5n＋2)S_n＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A、B為常數(shù)．

(1)求A與B的值；

(2)證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；

(3)證明：不等式＞1對任何正整數(shù)m、n都成立．

Answer 1

答案：
解析：

解得A＝－20，B＝－8． 　　(2)證法1：由(1)得(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，① 　　∴(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+1＝－20n－28．② 　�、冢�①得(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20，③ 　　∴(5n＋2)Sn+3－(10n＋9)Sn+2＋(5n＋7)Sn+1＝－20．④ 　�、埽�③得(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)·Sn+1－(5n＋2)Sn＝0． 　　∵an+1＝Sn+1－Sn， 　　∴(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0． 　　又∵5n＋2≠0， 　　∴an+3－2an+2＋an+1＝0， 　　即an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1． 　　又a3－a2＝a2－a1＝5， 　　∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 　　證法2：由已知，S1＝a1＝1， 　　又(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0． 　　∴數(shù)列{Sn}是唯一確定的，因而數(shù)列{an}是唯一確定的．設bn＝5n－4，

提示：

主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識、不等式的證明方法，考查思維能力和運算能力．