Question

如圖已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分別是AA₁，BB₁，AB，B₁C₁的中點，
（1）求證：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求證：PC₁∥面MNQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由AB⊥PC和CC₁⊥AB⇒AB⊥面PCC₁；再利用MN∥AB⇒MN⊥面PCC₁即可得到面PCC₁⊥面MNQ；．
（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，把直線PC₁平行面MNQ轉化為證明PC₁∥KQ即可．
解答：證明：（1）∵AC=BC，P是AB的中點
∴AB⊥PC
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC內
∴CC₁⊥AB，
∵CC₁∩PC=C
∴AB⊥面PCC₁；
又∵M，N分別是AA₁、BB₁的中點，
四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁．
∵MN在平面MNQ內，
∴面PCC₁⊥面MNQ；（4分）

（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，
∵MN∥PB，N為BB₁的中點，
∴K為PB₁的中點．
又∵Q是C₁B₁的中點
∴PC₁∥KQ而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ
∴PC₁∥面MNQ．（9分）
點評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及線面平行的判定，是對立體幾何知識的綜合考查．在證明線面平行時，一般轉化為線線平行或面面平行來證．