Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求證為定值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)分析題意可得b＝1，再根據(jù)離心率的表達(dá)式和a,b,c之間的系數(shù)關(guān)系可求得標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)將直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，再結(jié)合題意即可

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為，

由題b＝1，.即,

∴橢圓C的方程為.

(2)方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．，

∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，，

將A點(diǎn)坐代入到橢圓方程中，得，

去分母整理得.同理，由，

可得，∴λ1，λ2是方程的兩個根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2為定值．

方法二:設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．顯然直線存在斜率，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程是y＝k(x－2)．將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. .

又,將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得

,

,

故λ1＋λ2為定值．