Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.證明:

（1）存在唯一的極值點(diǎn);

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為相反數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）要證明存在唯一的極值點(diǎn)，通常情況下，即證明有唯一解，且在此解左右兩邊的單調(diào)性不一致即可；

（2）首先借助第（1）問的結(jié)論與零點(diǎn)存在定理證明在只有一個零點(diǎn)，在只有一個零點(diǎn)，然后令去證明，即可得到的兩根互為相反數(shù).

證明:（1）的定義域為

，

當(dāng)時,；

當(dāng)時,,即在上是增函數(shù)，

又，

所以存在,使得

并且當(dāng)時,當(dāng)時,，

所以當(dāng)時,是減函數(shù)，

當(dāng)時,是增函數(shù)，

即是唯一的極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn)。

（2）由（1）得： 在上是減函數(shù)，其中，

又

所以在只有一個零點(diǎn)，且這個零點(diǎn)在區(qū)間上，

在上是增函數(shù)，

又，，

所以在只有一個零點(diǎn)，且這個零點(diǎn)在區(qū)間上，

所以僅有兩個零點(diǎn),分別記作

由于，

所以，即，故.

即也是的零點(diǎn),即

所以,即的兩根互為相反數(shù).