Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．
（1）若f（1）≤8，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設a=1，對任意的x₁，x₂∈（-1，0），關于m的不等式|$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}$-g（x₂）|＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設H₁（x）=max{f（x，g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}，其中max{p，q}表示p，q中的較大者，min{p，q}表示p，q中的較小者；記H₁（x）的最小值為A，H₂（x）的最大值為B，求A-B的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a²-2a-11≤0，運用二次不等式的解法可得范圍；
（2）分別求得$\frac{x}{f（x）}$，g（x）的范圍，由題意可得|$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}$-g（x₂）|_max＜m，即可得到所求范圍；
（3）在同一坐標系中畫出f（x）與g（x）的圖象，由圖象及H₁（x）的定義知H₁（x）的最小值是f（a+2），H₂（x）的最大值為g（a-2），進而可得答案．

解答 解：（1）f（1）≤8，即為a²-2a-11≤0，
解得1-2$\sqrt{3}$≤a≤1+2$\sqrt{3}$；
（2）當a=1時，f（x）=x²-6x+1，g（x）=-x²-2x+7，
即有$\frac{x}{f（x）}$=$\frac{x}{{x}^{2}-6x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-6}$，由-1＜x＜0，可得x+$\frac{1}{x}$＜-2，
即有$\frac{x}{f（x）}$∈（-$\frac{1}{8}$，0）；
g（x）=-x²-2x+7=-（x+1）²+8∈（7，8），
由m的不等式|$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}$-g（x₂）|＜m恒成立，
由|$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}$-g（x₂）|＜8+$\frac{1}{8}$=$\frac{65}{8}$，
則m≥$\frac{65}{8}$；
（3）令f（x）=g（x），
即x²-2（a+2）x+a²=-x²+2（a-2）x-a²+8，
即x²-2ax+a²-4=0，
解得x=a+2或x=a-2．
f（x）與g（x）的圖象如圖．
由圖象及H₁（x）的定義知H₁（x）的最小值是f（a+2），
H₂（x）的最大值為g（a-2），
則A-B=f（a+2）-g（a-2）
=（a+2）²-2（a+2）²+a²+（a-2）²-2（a-2）²+a²-8=-16．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)最值的應用等，考查了數(shù)形結合的思想，考查運算能力，屬于中檔題．