Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ,a_n+1=其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù).

（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0＜a＜b,S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和.是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數(shù)λ，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

(Ⅱ)解：因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ?（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁=－(λ+18),所以

當λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數(shù)列：

當λ≠－18時，b₁=－(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當λ≠-18時，數(shù)列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數(shù)列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）?（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b對任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+18)?［1－（－）ⁿ］b(n∈N⁺)              

   ①

當n為正奇數(shù)時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18)<

當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數(shù)滿足題目要求；

當b>3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）.