Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+…bn ， 求使 Sn﹣2n+1+47＜0 成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，

依題意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)

∴

由 ①得 q2﹣3q+2=0，解得q=1或q=2．

當(dāng)q=1時(shí)，不合題意舍；

當(dāng)q=2時(shí)，代入（2）得a1=2，所以an=2n．

（2）解： =2n﹣n

所以Sn=b1+b2+…bn=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣ ﹣ n2

因?yàn)? ，所以2n+1﹣2﹣ ﹣ n2﹣2n+1+47＜0，

即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．

故使 成立的正整數(shù)n的最小值為10

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1 ， 公比為q，根據(jù)2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中項(xiàng)，建立方程組，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2） =2n﹣n，求出Sn=b1+b2+…bn ， 再利用 ，建立不等式，即可求得使 成立的正整數(shù)n的最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）是解答本題的根本，需要知道通項(xiàng)公式：．