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已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為.

(Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點.

①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值.

 

【答案】

（Ⅰ） (Ⅱ）

(2）

【解析】(I)由橢圓的離心率可得,再根據(jù)短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為得到,兩方程聯(lián)立可得a,b的值，從而確定橢圓C的方程.

(II)直線y=k(x+1)與橢圓方程聯(lián)立消去y,得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理x1+x2=-1,可建立關于k的方程，求出k的值.

(III) 在（II）的基礎上，因為,

再利用韋達定理代入可得到定值.

（Ⅰ）因為滿足， ，

.解得，則橢圓方程為

(Ⅱ）（1）將代入中得

因為中點的橫坐標為，所以，解得

(2）由（1）知，

所以

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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