Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當t=8時，求函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數(shù)x都成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）當t=8時，∴y′=x²-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞），
單調遞減區(qū)間是（-2，2）
（Ⅱ）證明：令
由因為t＞0，由，得
當時，h′（x）＞0；當時，h′（x）＜0
當變化時，y與y′的變化情況如下表：

x
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴h（x）在（0，+∞）內有唯一的極小值
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值
故當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數(shù)x都成立
分析：（I）先對函數(shù)y=f（x）-g（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)g′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，g′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，即可得到答案．
（II）令．利用導數(shù)求出fh（x）最小值，從而證得當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數(shù)x都成立．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力，難度較大．