Question

{a_n}為等比數(shù)列，公比大于1，S_n是前n項的和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列，{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求a_n
（2）數(shù)列{

1

bn•bn+1

}前n項的和為Tn，求使Tn＞

1000

2013

成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式及等差中項，列出關于首項與公比的方程組，求出首項、公比代入通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據等差數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再利用裂項法，求出{

1

bn•bn+1

}的前n項和T_n，根據不等式T_n＞

1000

2013

，求解即可得到答案．

解答：解：（1）∵{a_n}為等比數(shù)列，則首項為a₁，公比設為q，
∵S₃=7，則a₁+a₂+a₃=7，即a₁（1+q+q²）=7，①
∵a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列，則2×3a₂=a₁+3+a₃+4，
∴6a₁q=a₁+a₁q²+7，②
根據①②，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1；
（2）∵{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=2n-1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵T_n＞

1000

2013

，即

n

2n+1

＞

1000

2013

，
∴n＞

1000

13

，又n∈N⁺，
∴n的最小值為77，
故不等式T_n＞

1000

2013

成立的n的最小值為77．

點評：本題考查了等差與等比數(shù)列的通項公式，等差與等比數(shù)列的綜合應用．同時考查了數(shù)列的求和，常見的數(shù)列求和的方法有：分組求和法，裂項法，錯位相減法，倒序相加法．要根據具體的通項公式的特點進行判斷該選用什么方法進行求和．屬于中檔題．