Question

已知函數(shù)，其中，a為常數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當時，證明：對任意的正整數(shù)n，當時，有

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)的定義域為，

當n=2時，

所以 .

（1）當a＞0時，由=0得＞1，＜1，

（2）此時 =.

當x∈（1，x₁）時，＜0, 單調(diào)遞減；

當x∈（x₁+∞）時，＞0, 單調(diào)遞增.

當a≤0時，＜0恒成立，所以無極值.

綜上所述，n=2時，

當a＞0時,在處取得極小值，極小值為

當a≤0時，無極值.

（Ⅱ）證法一：因為a=1,所以

當n為偶數(shù)時，

令

則=1+＞0（x≥2）.

所以當x∈[2,+∞]時，g(x)單調(diào)遞增，

又g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立.

當n為奇數(shù)時，

要證≤x-1,由于＜0，所以只需證,

令　 ,

則=1-≥0（x≥2）,

所以當x∈[2，+∞]時，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，

所以當x≥2時，恒有＞0,即命題成立.

綜上所述，結論成立.

證法二：當a=1時，

當x≤2，時，對任意的正整數(shù)n，恒有≤1，

故只需證明.

令

則

當x≥2時，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增，

因此 當x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

故 當x≥2時，有≤x-1.

即f（x）≤x-1.