Question

16．假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：

使用年限x	2	3	4	5	6
維修費用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料知y對x呈線性相關關系，試求：
（1）線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+bx的回歸系數$\widehat{a}$，$\widehat$；
（2）判斷回歸模型擬合效果的好壞．

Answer 1

分析 （1）根據所給的數據，做出變量x，y的平均數，根據最小二乘法做出線性回歸方程的系數b，在根據樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值．
（2）求出回歸模型的相關系數，可判斷回歸模型擬合效果的好壞．

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，
$\hat$=$\frac{2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.23，
$\hat{a}$=5-4×1.23=0.08
（2）根據已知中的數據可得：
R²=1-$\frac{（2.2-2.54）^{2}+（3.8-3.77）^{2}+（5.5-5）^{2}+（6.5-6.23）^{2}+（7.0-7.46）^{2}}{（2.2-5）^{2}+（3.8-5）^{2}+（5.5-5）^{2}+（6.5-5）^{2}+（7.0-5）^{2}}$=1-$\frac{0.4930}{14.78}$=0.9666，
由于0.9666非常接近1，
故這個回歸模型擬合效果比較好．

點評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預報值的求法，是一個新課標中出現(xiàn)的新知識點，已經在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目．