Question

【題目】已知函數在處取得極值.

（1）求，并求的單調區(qū)間；

（2）證明：當，時，.

Answer 1

【答案】（1），在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據極值點可求出，根據導函數的正負求出單調區(qū)間；
（2）法一，由函數單調性可得變形可得，利用不等式的性質可放縮得到，構造函數可利用導數求最小值為0，即可得證；法二由函數單調性可得變形可得，由不等式性質可得，令，由導數可求出即可得證.

（1），由是極值點得，∴，

∴，∴，

由得，∴的單調遞增區(qū)間為；

由得，∴的單調遞減區(qū)間為.

（2）法一：由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，

故，即，故.

∴，當且僅當時取等號，

∵，∴，

∴，

∵，∴，∵，∴，

令，∴，

由得，∴在上單調遞增；

由得，∴在上單調遞減，

∴，即在處取等號，

∴，

由于取等條件不同，∴.

法二：由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，

故，即，∴，當且僅當時取等號，

∵，，∴，

令，，

由得，∴在上單調遞增；

由得，∴在上單調遞減，

∴，∴，

由于取等條件不同，故，整理得.