Question

(本小題滿分l2分）

已知，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于，的動點(diǎn)，且面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．

由題意知 解得，．

故橢圓的方程為，離心率為．……6分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．    

   證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．由得．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．，．    ………8分

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．……10分

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.所以直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離．

又因?yàn)?sub> ，所以．故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．………12分