Question

【題目】如圖，在正方體中，E、F、G、H分別是棱、、、的中點(diǎn).

（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求異面直線與所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）直線與相交；詳見解析（2）

【解析】

(1) 延長與必交于C右側(cè)一點(diǎn)P，延長與必交于C右側(cè)一點(diǎn)Q，證明P與Q重合，從而得到答案.
(2)由，可得，則與所成的角即為與所成的角，然后在三角形中求解.

解：（1）取的中點(diǎn)

∵E、F、I分別是正方形中、、的中點(diǎn)

∴

∴在平面中，延長與必交于C右側(cè)一點(diǎn)P，且

同理，在平面中，延長與必交于C右側(cè)一點(diǎn)Q，且

∴P與Q重合

進(jìn)而，直線與相交

方法二：∵在正方體中，E、H分別是、的中點(diǎn)

∴

∴是平行四邊形

∴

又∵F、G分別是、的中點(diǎn)

∴

∴，

∴、是梯形的兩腰

∴直線與相交

（2）解：∵在正方體中，

∴是平行四邊形

∴

又∵E、F分別是、的中點(diǎn)

∴

∴

∴與所成的角即為與所成的角

（或：與所成的角即為及其補(bǔ)角中的較小角）①

又∵在正方體中，為等邊三角形

∴②

∴由①②得直線與所成的角為