Question

11．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{\frac{1}{x}-1}|$（x＞0）．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要求推理過(guò)程）；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)值域?yàn)?[\frac{m}{3}，\frac{n}{3}]$？若存在，求m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系建立方程組關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1]（或（0，1）），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）（或[1，+∞））                                              …（4分）
（2）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1\\ 1-\frac{1}{x}\end{array}\right.$，$\begin{array}{l}x∈（0，1]\\ \\ x∈（1，+∞）\end{array}$…（6分）
∴若存在符合題意的m，n，則
①當(dāng)0＜m＜n≤1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}f（m）=\frac{1}{m}-1=\frac{n}{3}\\ f（n）=\frac{1}{n}-1=\frac{m}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3-3m=mn\\ 3-3n=mn\end{array}\right.$
解得m=n，這與m＜n相矛盾                        …（8分）
②當(dāng)0＜m＜1＜n時(shí)，由于$f（1）=0∈[\frac{m}{3}，\frac{n}{3}]$
∴$\frac{m}{3}$≤0＜$\frac{n}{3}$，即m≤0＜n，這與m＞0相矛盾      …（10分）
③當(dāng)1≤m＜n時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}f（m）=1-\frac{1}{m}=\frac{m}{3}\\ f（n）=1-\frac{1}{n}=\frac{n}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-3m+3=0\\{n^2}-3n+3=0\end{array}\right.$
∴m，n是方程x²-3x+3=0的兩根
∵△=（-3）²-4×3=-3＜0
∴x²-3x+3=0沒(méi)有實(shí)根，即不存在滿足題設(shè)的正實(shí)數(shù)m，n
…（13分）
綜上所述可知不存在正實(shí)數(shù)m，n滿足題設(shè)．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)值域的求解和應(yīng)用，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．