Question

5．函數f（x）=log_a（x³-3ax）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內單調遞減，a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． [$\frac{2}{3}$，1）
• D． [$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 將函數看作是復合函數，令g（x）=x³-3ax，先求出函數的定義域，用導數來判斷其單調性，再由復合函數“同增異減”求得結果．

解答 解：令t=g（x）=x³-3ax，則g（x）＞0．得到 x∈（-$\sqrt{3a}$，0）∪（ $\sqrt{3a}$，+∞），
由于g′（x）=3x²-3a，故x∈（-$\sqrt{a}$，0）時，g（x）單調遞減，?
x∈（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$）或x∈（$\sqrt{3a}$，+∞）時，g（x）單調遞增．?
∴當a＞1時，函數y=log_at為增函數，
函數f（x）減區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，0），
此時-$\sqrt{a}$≤-$\sqrt{2}$，得a≥2，
當0＜a＜1時，函數y=log_at為減函數，
則f（x）的增區(qū)間為（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$），
∵f（x）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3a}≤-\sqrt{2}}\\{-\sqrt{a}≥-1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{2}{3}}\\{0≤a≤1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}$≤a＜1，
綜上，a∈[$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）．
故選：D．

點評 本題主要考查復合函數的單調性，結論是同增異減，解題時一定要注意定義域，根據導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．屬于中檔題．