Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求異面直線EF與PA所成角的大小．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，交AC于點E，可證EF∥PD，從而證明EF∥平面PCD．
（2）異面直線EF與PA所成角的平面角為∠APD，求其大小即可．

解答： 解：（1）證明：連結(jié)BD，交AC于點E，
∵E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點，
∴EF∥PD，又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD；
∴EF∥平面PCD．
（2）由（1）知，異面直線EF與PA所成角的平面角為∠APD；
又∵PA=AB，∴PA=AD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴△APD為等腰直角三角形，
∴∠APD=45°．
即異面直線EF與PA所成角為45°．

點評：本題考查了學生的空間想象力及線面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．