Question

第30屆奧運會將于2012年7月27日在倫敦舉行，當?shù)啬硨W校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．將這20名志愿者的身高如下莖葉圖（單位：cm）：
若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”．
（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有1人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）確定“高個子”，“非高個子”的人數(shù)，利用用分層抽樣的方法，可得每個人被抽中的概率，利用對立事件即可求解；
（Ⅱ）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，利用離散型隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3，在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率，由期望的公式求出即可．

解答：解：（I）根據(jù)莖葉圖可知，這20名志愿者中有“高個子”8人，“非高個子”12人，用分層抽樣的方法從中抽出5人，則每個人被抽到的概率為

5

20

=

1

4

，所以應從“高個子”中抽8×

1

4

=2人，從“非高個子”中抽12×

1

4

=3人．
用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件

.

A

表示“沒有一名‘高個子’被選中”，則P(A)=1=P(

.

A

)=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

，
因此至少有1人是“高個子”的概率是

7

10

；
（II）依題意知，所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)X的所有可能為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 3 4

C 3 8

=

1

14

，P(X=1)=

C 1 4 C 2 4

C 3 8

=

3

7

，P(X=2)=

C 2 4 C 1 4

C 3 8

=

3

7

，P(X=3)=

C 3 4

C 3 8

=

1

14

因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 14	3 7	3 7	1 14

所以X的數(shù)學期望EX=0×

1

14

+1×

3

7

+2×

3

7

+3×

1

14

=

3

2

點評：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機事件的概率、對立事件的概率、隨機變量的分布列以及數(shù)學期望等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應用意識．