Question

同底的兩個正三棱錐內接于半徑為R的球，它們的側面與底面所成角分別為α₁、α₂,求：

（1）側面積的比；

（2）體積的比；

（3）角α₁+α₂的最大值.

Answer 1

解析:如圖,（1）設O為球心，O₁為正三棱錐底面ABC所在圓的圓心，兩個三棱錐的頂點分別為P、Q，取BC的中點D，則PD⊥BC，AD⊥BC，

∴∠PDO₁是側面與底面所成二面角的平面角.

∴∠PDO₁=α₁.同理，∠QDO₁=α₂.

∴PD=.

∴S_P—ABC側=3·BC·PD=BC·.∴S_Q—ABC側=3·BC·QD=·BC·.

∴S_P—ABC側∶S_Q—ABC側=cosα₂∶cosα₁.

（2）PO₁=DO₁·tanα₁,QO₁=DO₁·tanα₂,

這兩個三棱錐的底都是△ABC，∴V_P—ABC∶V_Q—ABC=PQ₁∶QO₁=tanα₁∶tanα₂.

（3）設三角形ABC邊長為a,OO₁=h,

則tanα₁=,tanα₂=.而DO₁=,

AO₁=a,R²-h²=AO₁²=a²,

∴tan（α₁+α₂）=

∴＜α₁+α₂＜π.

當平面ABC通過球心O，a最大為R時，

tan（α₁+α₂）取最大值-，這時α₁+α₂也最大，最大值為π-arctan.